在回答这个问题之前，我们需要明确一点：家庭教育指导师并不是一个由特定部门发放的证书，家庭教育指导师通常是通过参加培训课程、学习相关理论知识和技能，并通过考试获得资格认证的，我们不能简单地将家庭教育指导师与某个特定的部门联系起来。

为了更好地回答您的问题，我们可以将其拆分为两个部分：首先是家庭教育指导师的培训和资格认证，其次是这些培训和认证通常由哪个部门或机构负责。

1、家庭教育指导师的培训和资格认证

家庭教育指导师需要具备一定的专业知识和技能，以便能够为家庭提供有效的教育建议和服务，许多培训机构和教育机构会提供针对家庭教育指导师的培训课程，这些课程通常涵盖以下几个方面：

- 家庭教育理论：包括家庭教育的基本原理、方法和策略等。

- 儿童发展心理学：了解儿童的生长发育特点、心理需求和行为问题等。

- 亲子关系建立：学习如何与孩子建立良好的沟通和信任关系，以及如何解决亲子冲突等。

- 教育资源整合：掌握如何利用各种教育资源(如图书馆、网络、社区服务等)为孩子提供个性化的教育支持。

- 实践操作技巧：通过案例分析、角色扮演等形式，学习如何在实际生活中应用所学知识为家庭提供教育指导。

完成培训课程后，学员需要参加相应的考试，以证明自己具备了一定的家庭教育指导能力，通过考试的学生将获得一份证明自己资格的证书，这通常被认为是家庭教育指导师的“资格证”。

2、负责家庭教育指导师培训和资格认证的部门或机构

在我国，家庭教育指导师的培训和资格认证主要由以下几个部门或机构负责：

- 人力资源和社会保障部：该部门负责制定和管理全国范围内的职业资格证书制度，包括家庭教育指导师的资格认证，但需要注意的是，人力资源和社会保障部并没有专门针对家庭教育指导师的认证项目。

- 中国心理学会：中国心理学会是我国最具权威的心理学专业组织，其下属的一些分支机构可能会提供家庭教育指导师的培训课程，参加这些课程并通过考试的学生将获得中国心理学会颁发的证书。

- 其他专业培训机构：除了人力资源和社会保障部和中国心理学会之外，还有一些专业的培训机构也会提供家庭教育指导师的培训课程，这些机构通常具有一定的资质和声誉，学生在完成培训并通过考试后，可以获得这些机构颁发的证书。

家庭教育指导师并不是一个由特定部门发放的证书，而是通过参加培训课程、学习相关理论知识和技能，并通过考试获得资格认证的过程，在这个过程中，人力资源和社会保障部、中国心理学会以及其他专业培训机构都可能承担一定的职责。