家庭教育指导师证的发放主要由国家卫生健康委员会(原卫生部)和人力资源社会保障部共同负责，这两个部门分别从不同的角度对家庭教育指导师进行监管和管理，确保家庭教育指导师的专业素质和服务质量。

国家卫生健康委员会负责制定家庭教育指导师的培训和考核标准，根据《中华人民共和国国民健康法》和相关法规，卫生健康委员会会定期组织家庭教育指导师的培训课程，包括理论知识和实践技能，在培训过程中，学员需要通过考试，取得合格证书，卫生健康委员会还会对家庭教育指导师的职业行为进行监督，确保其遵循职业道德规范。

人力资源社会保障部负责家庭教育指导师的职业资格认证，根据《中华人民共和国职业技能鉴定条例》，人力资源社会保障部会对参加培训并通过考试的家庭教育指导师进行职业技能鉴定，颁发职业资格证书，这意味着家庭教育指导师具备了一定的专业能力和水平，可以在社会上从事家庭教育指导工作。

在实际操作中，家庭教育指导师证的发放通常需要经过以下几个步骤：

1、个人报名：具有一定教育背景和家庭教育经验的人员可以向相关部门报名参加家庭教育指导师培训课程。

2、培训学习：参加培训课程的学员需要按照规定的学时和要求完成课程学习，并通过考试。

3、考试取证：学员在通过培训课程后，需要参加由卫生健康委员会组织的考试，取得合格证书。

4、职业资格认证：考试合格的家庭教育指导师可以向人力资源社会保障部申请职业资格认证，领取职业资格证书。

5、执业备案：获得职业资格证书的家庭教育指导师需向所在地区的卫生健康委员会申请执业备案，取得执业许可证后方可从事家庭教育指导工作。

家庭教育指导师证的发放涉及到多个部门的协同管理，旨在确保家庭教育指导师的专业素质和服务质量，为广大家庭提供科学、有效的家庭教育指导服务。