在回答这个问题之前，我们需要明确一点：家庭教育指导师的发证部门并不是一个具体的单位，而是涉及到多个部门和机构，家庭教育指导师的培训、认证和发证主要由以下几个部门和机构负责：

1、人力资源和社会保障部：作为中国的政府部门，人力资源和社会保障部负责制定和管理家庭教育指导师的相关政策和规定，对家庭教育指导师的培训和认证进行统一管理和监督。

2、中国国家教育部门：中国国家教育部门负责制定全国性的教育政策和规划，对家庭教育指导师的培训和认证进行指导和支持，国家教育部门还会定期组织家庭教育指导师的专业培训和研讨会，提高家庭教育指导师的专业水平。

3、各省、自治区、直辖市教育部门：各级教育部门在国家教育部门的指导下，负责本地区的家庭教育指导师培训和认证工作，各地教育部门会根据本地的实际情况，制定具体的家庭教育指导师培训计划和认证标准。

4、社会培训机构：为了满足家庭教育指导师的需求，社会上有很多专门从事家庭教育指导师培训的机构，这些培训机构会根据国家和地方的教育部门的要求，开展家庭教育指导师的培训课程，帮助学员取得家庭教育指导师的证书。

5、专业协会和学术团体：有一些专门从事家庭教育指导工作的协会和学术团体，如中国家庭教育学会、中国家庭教育研究会等，这些协会和学术团体会组织专业的学术交流和研讨活动，推动家庭教育指导师的专业发展。

家庭教育指导师的发证部门并不是一个具体的单位，而是由多个部门和机构共同参与的，在实际操作中，家庭教育指导师需要在这些部门和机构的指导下，完成相关的培训和认证工作，才能取得家庭教育指导师的证书，家庭教育指导师在实际工作中，还需要不断提高自己的专业素养和服务能力，为广大家长提供优质的家庭教育指导服务。