在回答这个问题之前，我们首先要了解一下家庭教育指导师的职业背景，家庭教育指导师是指在家庭教育领域具有专业知识和技能，能够为家长提供科学、合理的家庭教育建议和指导的专业人员，随着社会对家庭教育的重视程度不断提高，家庭教育指导师逐渐成为了一个备受关注的职业。

关于家庭教育指导师发证机关的问题，实际上并不是由教育部直接颁发，家庭教育指导师的证书颁发主要由两类机构承担：一类是人力资源和社会保障部门，如人社部人才交流服务中心；另一类是专门从事职业技能培训和认证的机构，如中国职业技能培训网、中国职业技能培训中心等，这些机构会根据国家相关政策和标准，对参加培训并通过考核的家庭教育指导师进行认证，颁发相应的证书。

在填写相关表格时，家庭教育指导师发证机关应该如何填写呢？你需要明确自己所申请的证书是由哪个机构颁发的，如果你已经获得了家庭教育指导师的证书，那么在申请工作或者参加相关活动时，就需要在相应的表格上填写该证书的发证机关，你可以填写“人社部人才交流服务中心”或者“中国职业技能培训网”。

在填写表格时，除了发证机关这一项外，还需要填写其他相关信息，如姓名、性别、出生日期、身份证号、联系电话等，你还需要按照要求提供相关证明材料，如学历证书、职业资格证书等，在提交表格和材料后，相关部门会对你的信息进行审核，审核通过后，你就可以获得家庭教育指导师的证书了。

家庭教育指导师发证机关并非由教育部直接颁发，而是由人社部门或专门的职业技能培训机构承担，在申请家庭教育指导师证书时，需要明确证书的发证机关，并按照要求填写相关表格和提交证明材料，希望我的回答对你有所帮助！